Note publique d'information : CETTE THESE COMPREND TROIS PARTIES NUMEROTEES I, II, III. SON OBJET EST LA GEOMETRIE
RIEMANNIENNE ET, PLUS PRECISEMENT, LES INTERACTIONS ENTRE LA COURBURE RIEMANNIENNE
ET LA TOPOLOGIE. ELLE S'ARTICULE AUTOUR DU CONCEPT D'ALGEBRE DE COURBURE, QUI EN ASSURE
L'UNITE. DANS LA PREMIERE PARTIE ON ETABLIT, EN DIMENSION 4 ET SOUS DES HYPOTHESES
DE PINCEMENT DE LA COURBURE, DES INEGALITES ENTRE LA SIGNATURE ET LA CARACTERISTIQUE
D'EULER. CES RESULTATS GENERALISENT L'INEGALITE ENTRE LA CARACTERISTIQUE D'EULER ET
LA SIGNATURE OBTENUE PAR J. A. THORPE ET N. HITCHIN POUR LES VARIETES D'EINSTEIN COMPACTES
ORIENTEES DE DIMENSION 4. DANS LA SECONDE PARTIE, ON CONSTRUIT DES EXEMPLES ALGEBRIQUES
DE TENSEURS DE COURBURE MONTRANT LES LIMITATIONS DES METHODES UTILISEES EN DIMENSION
4. DE CES EXEMPLES, CONSTRUITS EN DIMENSION 6 OU 8, ON DEDUIT QU'AUCUNE GENERALISATION
NATURELLE DES INEGALITES ETABLIES EN DIMENSION 4 PEUT ETRE OBTENUE PAR L'APPROCHE
ALGEBRIQUE. LA TROISIEME PARTIE DE CE TRAVAIL TRAITE DES FORMULES DE WEITZENBOCK.
CE CONCEPT, QUI A FAIT L'OBJET DE NOMBREUX TRAVAUX, EST ICI DEVELOPPE A PROPOS DES
SECTIONS DE FIBRES QUE L'ON PEUT INTERPRETER COMME ENDOMORPHISMES. POUR CE FAIRE,
ON INTRODUIT LE CADRE GENERAL DES FIBRES DE DIRAC AU-DESSUS D'UNE VARIETE RIEMANNIENNE
DONT ON SAIT QU'ILS PRENNENT UNE PLACE DE PLUS EN PLUS IMPORTANTE DANS DE NOMBREUX
DOMAINES DES MATHEMATIQUES. PAR OPPOSITION AUX DEUX PARTIES PRECEDENTES, OU LES CALCULS
ETAIENT COMPLETEMENT ALGEBRIQUES, DONC EFFECTUES EN UN POINT DE LA VARIETE M, IL EST
FAIT USAGE DANS LA TROISIEME PARTIE DU CALCUL DIFFERENTIEL SUR M. LA PREMIERE IDENTITE
DE BIANCHI, QUI JOUAIT UN ROLE FONDAMENTAL CEDE LA PLACE A LA SECONDE IDENTIE DE BIANCHI.
CONCERNANT LES FORMULES DE WEITZENBOCK, LA NOUVEAUTE TIENT AUSSI DANS LA CONSIDERATION
DES QUANTITES NON-TENSORIELLES QUE SONT LES VALEURS PROPRES, POUR LESQUELLES ON OBTIENT
UNE EXPRESSION DU LAPLACIEN LORSQUE L'ENDOMO