Note publique d'information : Dans ce travail, la méthode homogénéisation de multi-échelle, ainsi que diverses méthodes
non homogénéisation, seront présentés pour étudier le comportement dynamique des structures
périodiques. La méthode de multi-échelle commence par la séparation d'échelles. Dans
ce cas, une échelle microscopique pour décrire le comportement local et une échelle
macroscopique pour décrire le comportement global sont introduites. D'après la théorie
de l'homogénéisation, la longueur d'onde est supposée grande, et la longueur de la
cellule doit être beaucoup plus petite que la longueur caractéristique de la structure.
Ainsi, le domaine d'homogénéisation est limité à la première zone de propagation.
Le modèle d'homogénéisation traditionnel utilise des valeurs moyennes des éléments,
mais le domaine de validité pratique est beaucoup plus petit que la première bande
interdite. Alors, le développement de nouveaux modèles homogénéisés est beaucoup motivé
par cet inconvénient. Par rapport au modèle d'homogénéisation traditionnel, équations
d'ordre supérieur sont proposées pour fournir des modèles homogénéisation plus précises.
Deux méthodes multi-échelles sont introduites: la méthode de développement asymptotique,
et la méthode de l'homogénéisation des milieux périodiques discrètes (HMPD). Ces méthodes
seront appliquées de façon séquentielle dans le cas d'onde longitudinale et le cas
d'onde transversale. Les mêmes modèles d'ordre supérieur sont obtenus par les deux
méthodes dans les deux cas. Ensuite, les modèles proposés sont validés en examinant
la relation de dispersion et de la fonction de réponse fréquentielle. Des solutions
analytiques et la méthode des ondes éléments finis(WFEM) sont utilisés pour donner
les références. Des études paramétriques sont effectuées dans le cas infini, et deux
différentes conditions aux limites sont prises en compte dans le cas fini. Ensuite,
le HMPD et CWFEM sont utilisés pour étudier les vibrations longitudinales et transversales
des structures réticulées dans le cas 1D et 2D. Le domaine de validité du HPDM est
réévalué à l'aide de la fonction de propagation identifiée par le CWFEM. L'erreur
relative au nombre d'onde obtenue par HPDM est illustré sur la fonction de la fréquence
et le rapport d'échelle. Des études paramétriques sur l'épaisseur de la structure
sont réalisées par la relation de dispersion. La dynamique des structures finies sont
également étudiés en utilisant la HPDM et CWFEM.
Note publique d'information : In this work, the multi-scale homogenization method, as well as various non homogenization
methods, will be presented to study the dynamic behaviour of periodic structures.
The multi-scale method starts with the scale-separation, which indicates a micro-scale
to describe the local behaviour and a macro-scale to describe the global behaviour.
According to the homogenization theory, the long-wave assumption is used, and the
unit cell length should be much smaller than the characteristic length of the structure.
Thus, the valid frequency range of homogenization is limited to the first propagating
zone. The traditional homogenization model makes use of material properties mean values,
but the practical validity range is far less than the first Bragg band gap. This deficiency
motivated the development of new enriched homogenized models. Compared to traditional
homogenization model, higher order homogenized wave equations are proposed to provide
more accuracy homogenized models. Two multi-scale methods are introduced: the asymptotic
expansion method, and the homogenization of periodic discrete media method (HPDM).
These methods will be applied sequentially in longitudinal wave cases in bi-periodic
rods and flexural wave cases in bi-periodic beams. Same higher order models are obtained
by the two methods in both cases. Then, the proposed models are validated by investigating
the dispersion relation and the frequency response function. Analytical solutions
and wave finite element method (WFEM) are used as references. Parametric studies are
carried out in the infinite case while two different boundary conditions are considered
in the finite case. Afterwards, the HPDM and the CWFEM are employed to study the longitudinal
and transverse vibrations of framed structures in 1D case and 2D case. The valid frequency
range of the HPDM is re-evaluated using the wave propagation feature identified by
the CWFEM. The relative error of the wavenumber by HPDM compared to CWFEM is illustrated
in the function of frequency and scale ratio. Parametric studies on the thickness
of the structure is carried out through the dispersion relation. The dynamics of finite
structures are also investigated using the HPDM and CWFEM.
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