Note publique d'information : Jean-Marc Fontaine a montré que la catégorie tannakienne des représentations cristallines
du groupe de Galois d’un corps local K est équivalente à celle des Phi-modules filtrés
sur K admissibles. De plus, la théorie de Fontaine-Laffaille, sous certaines restrictions,
précise ceci à l’aide d’un foncteur V_cris qui induit une équivalence abélienne entre
les réseaux fortement divisibles des Phi-modules filtrés admissibles et les réseaux
galoisiens des représentations galoisiennes correspondantes. Le but de cette thèse
est d’étudier plus en détail le foncteur V_cris. A cause des restrictions liées à
la théorie de Fontaine-Laffaille, les catégories considérées pour les réseaux ne sont
pas stables par produit tensoriel. Mais nous montrons que malgré ce problème, V_cris
a de bonnes propriétés tannakiennes, qui conduisent à des applications intéressantes
pour les représentations cristallines à valeurs dans les points sur Zp d'un groupe
algébrique lisse sur Zp.Le point clé est la construction d'un foncteur, qui à un Phi-module
filtré M (vérifiant les conditions de Fontaine-Laffaille) associe un (Phi,Gamma)-module
dont la représentation galoisienne associée s'identifie fonctoriellement à V_cris(M),
et qui préserve le produit tensoriel (sous certaines conditions). Ce foncteur a un
lien très fort avec la théorie des modules de Wach, et c’est cela qui permet d'utiliser
toute la force de l’équivalence de catégories entre les représentations galoisiennes
sur Zp et les (Phi,Gamma)-modules.
Note publique d'information : Jean-Marc Fontaine showed that the tannakian category of crystalline representations
of the group of Galois of a local field K is equivalent to that of the admissible
filtered Phi-modules on K. Moreover, the Fontaine-Laffaille's theory, under certain
restrictions, specifies this using a V_cris functor which induces an abelian equivalence
between the strongly divisible lattices of the admissible filtered Phi-modules and
the Galois-lattices of the corresponding Galois-representations. The purpose
of this thesis is to study the V_cris functor. Because of the restrictions related
to the Fontaine-Laffaille's theory, the categories considered for the lattices are
not stable by tensorial product. But we show that in spite of this problem, V_cris
has good tannakian properties, which lead to interesting applications for the crystalline
representations with values in the Zp-points of a smooth algebraic group over Zp.
The key point is the construction of a functor, which to a filtered Phi-module M
(checking the conditions of Fountain-Laffaille) associates a (Phi, Gamma) - module
of which the associated Galois-representation is fonctorially identified with V_cris
(M), and who preserves the tensorial product (under certain conditions). This functor
has a very strong link with the theory of the Wach modules, and that's why we can
use at his best the equivalence of categories between the Galois-representations over
Zp and the (Phi, Gamma) - modules.
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