Note publique d'information : Cette thèse porte sur l'étude d'algorithmes stochastiques en grande dimension ainsi
qu'à leur application en statistique robuste. Dans la suite, l'expression grande dimension
pourra aussi bien signifier que la taille des échantillons étudiés est grande ou encore
que les variables considérées sont à valeurs dans des espaces de grande dimension
(pas nécessairement finie). Afin d'analyser ce type de données, il peut être avantageux
de considérer des algorithmes qui soient rapides, qui ne nécessitent pas de stocker
toutes les données, et qui permettent de mettre à jour facilement les estimations.
Dans de grandes masses de données en grande dimension, la détection automatique de
points atypiques est souvent délicate. Cependant, ces points, même s'ils sont peu
nombreux, peuvent fortement perturber des indicateurs simples tels que la moyenne
ou la covariance. On va se concentrer sur des estimateurs robustes, qui ne sont pas
trop sensibles aux données atypiques. Dans une première partie, on s'intéresse à l'estimation
récursive de la médiane géométrique, un indicateur de position robuste, et qui peut
donc être préférée à la moyenne lorsqu'une partie des données étudiées est contaminée.
Pour cela, on introduit un algorithme de Robbins-Monro ainsi que sa version moyennée,
avant de construire des boules de confiance non asymptotiques et d'exhiber leurs vitesses
de convergence L^p et presque sûre.La deuxième partie traite de l'estimation de la
"Median Covariation Matrix" (MCM), qui est un indicateur de dispersion robuste lié
à la médiane, et qui, si la variable étudiée suit une loi symétrique, a les mêmes
sous-espaces propres que la matrice de variance-covariance. Ces dernières propriétés
rendent l'étude de la MCM particulièrement intéressante pour l'Analyse en Composantes
Principales Robuste. On va donc introduire un algorithme itératif qui permet d'estimer
simultanément la médiane géométrique et la MCM ainsi que les q principaux vecteurs
propres de cette dernière. On donne, dans un premier temps, la forte consistance des
estimateurs de la MCM avant d'exhiber les vitesses de convergence en moyenne quadratique.Dans
une troisième partie, en s'inspirant du travail effectué sur les estimateurs de la
médiane et de la "Median Covariation Matrix", on exhibe les vitesses de convergence
presque sûre et L^p des algorithmes de gradient stochastiques et de leur version moyennée
dans des espaces de Hilbert, avec des hypothèses moins restrictives que celles présentes
dans la littérature. On présente alors deux applications en statistique robuste: estimation
de quantiles géométriques et régression logistique robuste.Dans la dernière partie,
on cherche à ajuster une sphère sur un nuage de points répartis autour d'une sphère
complète où tronquée. Plus précisément, on considère une variable aléatoire ayant
une distribution sphérique tronquée, et on cherche à estimer son centre ainsi que
son rayon. Pour ce faire, on introduit un algorithme de gradient stochastique projeté
et son moyenné. Sous des hypothèses raisonnables, on établit leurs vitesses de convergence
en moyenne quadratique ainsi que la normalité asymptotique de l'algorithme moyenné.
Note publique d'information : This thesis focus on stochastic algorithms in high dimension as well as their application
in robust statistics. In what follows, the expression high dimension may be used when
the the size of the studied sample is large or when the variables we consider take
values in high dimensional spaces (not necessarily finite). In order to analyze these
kind of data, it can be interesting to consider algorithms which are fast, which do
not need to store all the data, and which allow to update easily the estimates. In
large sample of high dimensional data, outliers detection is often complicated. Nevertheless,
these outliers, even if they are not many, can strongly disturb simple indicators
like the mean and the covariance. We will focus on robust estimates, which are not
too much sensitive to outliers.In a first part, we are interested in the recursive
estimation of the geometric median, which is a robust indicator of location which
can so be preferred to the mean when a part of the studied data is contaminated. For
this purpose, we introduce a Robbins-Monro algorithm as well as its averaged version,
before building non asymptotic confidence balls for these estimates, and exhibiting
their L^p and almost sure rates of convergence.In a second part, we focus on the estimation
of the Median Covariation Matrix (MCM), which is a robust dispersion indicator linked
to the geometric median. Furthermore, if the studied variable has a symmetric law,
this indicator has the same eigenvectors as the covariance matrix. This last property
represent a real interest to study the MCM, especially for Robust Principal Component
Analysis. We so introduce a recursive algorithm which enables us to estimate simultaneously
the geometric median, the MCM, and its q main eigenvectors. We give, in a first time,
the strong consistency of the estimators of the MCM, before exhibiting their rates
of convergence in quadratic mean.In a third part, in the light of the work on the
estimates of the median and of the Median Covariation Matrix, we exhibit the almost
sure and L^p rates of convergence of averaged stochastic gradient algorithms in Hilbert
spaces, with less restrictive assumptions than in the literature. Then, two applications
in robust statistics are given: estimation of the geometric quantiles and application
in robust logistic regression.In the last part, we aim to fit a sphere on a noisy
points cloud spread around a complete or truncated sphere. More precisely, we consider
a random variable with a truncated spherical distribution, and we want to estimate
its center as well as its radius. In this aim, we introduce a projected stochastic
gradient algorithm and its averaged version. We establish the strong consistency of
these estimators as well as their rates of convergence in quadratic mean. Finally,
the asymptotic normality of the averaged algorithm is given.
paprika.idref.fr
data.idref.fr
Documentation
