Note publique d'information : LE MOUVEMENT BROWNIEN MULTIFRACTIONNAIRE EST UNE GENERALISATION DU BIEN CONNU MOUVEMENT
BROWNIEN FRACTIONNAIRE, POUR LEQUEL LE PARAMETRE D'AUTOSIMILARITE EST REMPLACE PAR
UNE FONCTION. CETTE SUBSTITUTION PERMET A LA REGULARITE LOCALE DE VARIER LE LONG DES
TRAJECTOIRES.DANS UN PREMIER ARTICLE, DES EXTENSIONS DE CES PROCESSUS POUR DES PARAMETRES
MULTIDIMENSIONNELS, SONT ETUDIEES. POUR CHACUN D'EUX, DEUX TYPES D'EXTENSION SONT
DEFINIS : L'UNE EST ISOTROPE, L'AUTRE NON. LES PROPRIETES FRACTALES DES PROCESSUS
A PARAMETRE REEL, SONT ETENDUES : L'AUTOSIMILARITE ET LA STATIONNARITE DES ACCROISSEMENTS
DANS LE CAS FRACTIONNAIRE, ET L'AUTOSIMILARITE ASYMPTOTIQUE LOCALE DANS LE CAS MULTIFRACTIONNAIRE.LA
CONSTRUCTION ET L'ETUDE D'UN MOUVEMENT BROWNIEN FRACTIONNAIRE INDEXE PAR DES ENSEMBLES,
EST L'OBJET D'UN DEUXIEME ARTICLE. LES PROPRIETES FRACTALES SONT DEFINIES POUR UN
PROCESSUS INDEXE PAR DES ENSEMBLES ET PROUVEES DANS LE CAS DE NOTRE PROCESSUS. ENFIN,
SON COMPORTEMENT SUR LES CHEMINS CROISSANTS EST EXAMINE : LE PROCESSUS A PARAMETRE
REEL OBTENU PAR PROJECTION SUR LES FLOTS, EST UN FBM CLASSIQUE CHANGE DE TEMPS.DANS
UN TROISIEME ARTICLE, ON ETEND L'ANALYSE 2-MICROLOCALE AU CADRE STOCHASTIQUE DES PROCESSUS
GAUSSIENS. CELLE-CI PERMET DE PREDIRE LA REGULARITE DES PROCESSUS OBTENUS PAR ACTION
D'OPERATEURS INTEGRO-DIFFERENTIELS. LA VALEUR PRESQUE SURE DE LA FRONTIERE 2-MICROLOCALE
DU MOUVEMENT BROWNIEN (MULTI-)FRACTIONNAIRE EST EVALUEE.
Note publique d'information : THE MULTIFRACTIONAL BROWNIAN MOTION IS A GENERALIZATION OF THE WELL-KNOWN FRACTIONAL
BROWNIAN MOTION, WHERE THE CONSTANT INDEX OF SELF-SIMILARITY IS SUBSTITUTED WITH A
FUNCTION. THIS SUBSTITUTION ALLOWS THE LOCAL REGULARITY TO VARY ALONG THE PATHS. IN
A FIRST PAPER, MULTIPARAMETER EXTENSIONS OF THESE PROCESSES ARE STUDIED. FOR EACH
OF ONE, TWO KINDS OF EXTENSION ARE DEFINED: ONE IS ISOTROPIC, THE OTHER IS NOT. THE
FRACTAL PROPERTIES OF ONE-PARAMETER PROCESSES ARE EXTENDED: SELF-SIMILARITY AND INCREMENTS
STATIONARITY IN THE FRACTIONAL CASE, AND THE LOCALLY ASYMPTOTIC SELF-SIMILARITY IN
THE MULTIFRACTIONAL CASE.THE DEFINITION AND STUDY OF A SET-INDEXED FRACTIONAL BROWNIAN
MOTION, IS THE OBJECT OF A SECOND PAPER. FRACTAL PROPERTIES ARE DEFINED FOR A SET-INDEXED
PROCESS, AND PROVED FOR OUR PROCESS. EVENTUALLY, BEHAVIOR ALONG INCREASING PATHS ARE
EXAMINED: THE ONE-PARAMETER PROCESS OBTAINED FROM PROJECTION ALONG FLOWS, IS A TIME-CHANGED
CLASSICAL FBM.IN A THIRD PAPER, WE EXTEND THE 2-MICROLOCAL ANALYSIS TO THE STOCHASTIC
CASE OF GAUSSIAN PROCESSES. THIS ALLOWS TO PREDICT THE REGULARITY OF PROCESSES OBTAINED
BY ACTION OF INTEGRO-DIFFERENTIAL OPERATORS. THE ALMOST SURE VALUE OF THE 2-MICROLOCAL
FRONTIER OF THE (MULTI-)FRACTIONAL BROWNIAN MOTION IS COMPUTED.
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