Identifiant pérenne de la notice : 247843660
Notice de type
Notice de regroupement
Note publique d'information : Cette thèse est dédiée à l'étude de la coexistence de phases dans un régime où la
température s'approche du point critique. Pour le modèle d'Ising en dimension deux
nous établissons, dans ce régime, un principe de grandes déviations (PGD) duquel nous
déduisons l'apparition d'un cristal de Wulff parfaitement rond. Nous étudions aussi
le modèle d'Ising soumis à un champ magnétique inhomogène. Lorsque ce champ représente
les niveaux de gris d'une image, nous montrons que les configurations de spines se
concentrent près des solutions d'une version simplifiée de la fonctionnelle de Mumford-Shah.
Dans le premier chapitre nous établissons des estimées de blocs pour la percolation
FK sur-critique en dimension deux. Ces estimées nous permettent d'implémenter des
arguments de renormalisation en dimension deux dès que le paramètre est au-dessus
du point dual du seuil de décroissance exponentielle des connections. Le deuxième
chapitre est consacré à l'analyse du cristal de Wulff lorsque la température s'approche
du point critique. Nous établissons un PGD dont la fonction de taux est le périmètre
isotrope, le système devient ainsi invariant par rotation. Le lien avec le problème
de segmentation d'images s'obtient du PGD précédent en soumettant le modèle d'Ising
à un champ magnétique inhomogène construit à partir de la fonction représentant les
niveaux de gris de l'image à segmenter. Dans le dernier chapitre nous étudions la
tension de surface du modèle d'Ising en dimension deux. Nous montrons que la tension
de surface devient invariante par rotation lorsque la température s'approche du point
critique.
Note publique d'information : This thesis is dedicated to the study of phase coexistence in a regime where the temperature
approaches the critical point. For the Ising model in dimension two we establish in
this regime a large deviation principle (LDP) that proves the apparition of a perfectly
round Wulff droplet. Then we study the Ising model submitted to an inhomogeneous magnetic
field. When this magnetic field represents the gray levels of a picture, we show that
the spin configurations concentrates near the solutions of a simplified version of
the Mumford-Shah functional whose surface energy term is rotation invariant. In the
first chapter we establish estimates for block events in the context of the 2d supercritical
random cluster model. These estimates permit the use of block renormalization techniques
as soon as the percolation parameter is above the dual point of the exponential decay
of connectivity threshold. The second chapter contains the study of the Wulff crystal
when the temperature approaches the critical point. We establish a LDP whose rate
function is the isotropic perimeter. The system thus becomes rotation invariant. The
link with image segmentation is obtained from the previous LDP by perturbing the Ising
model with an inhomogeneous magnetic field. In the last chapter we study the surface
tension of the 2d Ising model when the temperature approaches the critical point.
Using explicit calculations, we establish that the surface tension becomes rotation
invariant near the critical point.
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