Note publique d'information : Ce travail de thèse est constitué de l'étude de deux problèmes inverses associés à
des équations paraboliques à coefficients périodiques. Dans la première partie, on
a considéré une équation parabolique à coefficients et condition initiale périodiques.
Notre travail a consisté à aborder le cas de coefficient à régularité faible et à
minimiser les contraintes d'observations requises pour établir notre résultat de reconstruction
du potentiel. On a commencé par établir un résultat d'existence et d'unicité de la
solution dans un espace d'énergie adéquat. Ensuite, on a énoncé un principe du maximum
adapté aux hypothèses du problème étudié et on a travaillé avec des coefficients mesurables
et bornés. Enfin, on a reconstruit le potentiel en établissant une inégalité de Carleman.
Le résultat d'identification a été obtenu via une inégalité de stabilité de type Lipschitz.
Dans le second travail, on s'est intéressé à la détermination d'un coefficient périodique
en espace du terme de réaction dans une équation de réaction-diffusion définie dans
l'espace entier ℝ. On établit un résultat d'unicité en utilisant un nouveau type d'observations.
La nature du problème étudié, posé dans l'espace ℝ, nous a permis d'utiliser la notion
de vitesse asymptotique de propagation. On a prouvé l'existence de cette vitesse et
on l'a caractérisé. On a surdéterminé le problème inverse en choisissant une famille
de conditions initiales à décroi-ssance exponentielle. Notre principal résultat est
que ce coefficient est déterminé de façon unique, à une symétrie près, par l'observation
d'un continuum de vitesses asymptotiques de propagation.
Note publique d'information : This thesis consists in the study of two problems associated to inverse para-bolic
equations with periodic coefficients. We are interested in identifying one coefficient
by using two different methods. In the first part, we consider a parabolic equation
with periodic coefficients and periodic initial condition. Our work consists to consider
the case of coefficient with weak regularity and to minimize the constraints of observations
which are required to establish our reconstruction result. We establish a result of
existence and uniqueness of the solution in adequate energy space. Then we prove a
maximum principle adapted to the hypothesis of the problem studied and we work with
measurable and bounded coefficients. Finally, we reconstruct the potential by establishing
a Carleman estimate. The identification result was achieved via an inequality of stability.
In the second work, we are interested to determine a periodic coefficient of the reaction
term defined in the whole space ℝ. We establish a uniqueness result by using a new
type of observations. The nature of the studied problem allowed us to use the notion
of asymptotic speed of propagation. We prove the existence of this speed and we give
its characterization. We overdetermin the inverse problem by choosing a family of
initial conditions exponentially decaying. Our main result is that the coefficient
is uniquely determined up to a symmetry, by the observation of a continuum of asymptotic
speed of propagation.
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