Note publique d'information : Dans ce travail, nous construisons des algorithmes de calcul de solutions formelles
de systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP). La thèse se divise en deux
parties. Dans une première partie, nous proposons une nouvelle méthode du type Newton
pour le calcul en un point régulier des séries formelles solutions d'une famille de
systèmes d'EDP non linéaires qui a été définie par F. Boulier et ses collaborateurs.
Ces systèmes apparaissent dans les algorithmes d'élimination différentielle. Cette
méthode de Newton est une alternative à la méthode par dérivation-évaluation de F.
Boulier et ses collaborateurs. Nous faisons une première ébauche d'étude de complexité
entre la méthode de Newton et la méthode par dérivation-evaluation en nous restreignant
aux équations différentielles. Nous proposons de plus une version modulaire de la
méthode de Newton dans le cas d'une équation différentielle du premier ordre, pour
tenir compte de l'explosion des coefficients de la série à calculer. Dans une seconde
partie, nous étudions les systèmes de Pfaff complètement intégrables à croisements
normaux en l'origine. Tout d'abord, nous proposons deux méthodes de calcul des solutions
à l'origine pour les systèmes de Pfaff dits de première espèce basées sur les travaux
de R. Gérard et A.H.M. Levelt et T. Takano et M. Yoshida. Nous donnons de plus une
nouvelle démonstration constructive du théorème de Gérard et Levelt sous une hypothèse
de généricité qui permet de calculer les solutions d'un système de Pfaff de première
espèce vérifiant cette hypothèse. Puis, nous étudions le problème de la réduction
de rang d'un système de Pfaff de seconde espèce, problème lié étroitement au calcul
de ses solutions. Nous rappelons d'abord deux algorithmes classiques de réduction
de rang d'un système différentiel linéaire d'ordre 1 : les algorithmes de Moser et
de Levelt. Nous mettons alors en évidence la dualité entre les versions descendantes
et ascendantes de l'algorithme de Levelt, propriété essentielle dans la suite de notre
travail. Nous en profitons pour donner la complexité en opérations arithmétiques des
algorithmes de Moser et de Levelt. La dualité nous permet de caractériser la régularité
d'un système de Pfaff de seconde espèce en terme de stationnarité d'une suite décroissante
de réseaux : ce critère est la version duale du critère de A. van den Essen. Grâce
à cette caractérisation, nous obtenons un algorithme de réduction de rang des systèmes
de Pfaff de seconde espèce dans le cas de deux variables, en adaptant la version descendante
de l'algorithme de Levelt.
Note publique d'information : In this thesis, we build algorithms for computing formal solutions of systems of nonlinear
partial differential equations (PDE). It is divided in two parts. In a first part,
we give a new method of Newton type for computing formal power series solutions at
a regular point for a large class of non linear systems of PDE introduced by F. Boulier
and al. These systems appear when applying differential elimination tools. The Newton
method given here is an alternative to the method by derivation-evaluation proposed
by F. Boulier and al. We sketch a first comparison between the two methods by means
of complexity, restricting ourself to the case of a first order ODE. Furthermore,
we give a modular Newton method in the case of a first order ODE in order to take
coefficients growth into account. In a second part, we are studying completely integrable
Pfaffian systems with normal crossing at the origin. First, we give two methods for
computing solutions of Pfaffian systems of the first kind at the origin. The two methods
are based on works by R. Gérard and A.H.M. Levelt and T. Takano and M. Yoshida. Furthermore
we give a constructive proof of a theorem By R. Gérard and A.H.M. Levelt under a generic
asumption. This proof gives a method for computing solutions of a Pfaffian system
of first kind satisfying this asumption. Next, we give an answer to the rank reduction
problem for Pfaffian systems of the second kind and give a rank reduction algorithm
in the two variables case. This problem is linked with the computation of its solutions.
We recall well known algorithms for rank reduction of linear ordinary differential
systems : Moser algorithm and Levelt algorithm. We show a duality property between
increasing and decreasing versions of Levelt algorithm. This property turns out to
be very important. Furthermore we study complexity between Moser algorithm and Levelt
algorithm. Thanks to the duality property, we obtain a new criterium about regularity
of Pfaffian system of the second kind in the case of n variables, n arbitrary. This
can be viewed as the dual criterium of a criterium by A. van den Essen. Then, we build
a rank reduction algorithm for Pfaffian systems of the second kind in two variables
by adapting the decreasing version of Levelt algorithm.
paprika.idref.fr
data.idref.fr
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