Note publique d'information : Ma thèse porte sur l'étude de la distribution de processus stochastiques avec absorption
et leur approximation. Ces processus trouvent des applications dans de nombreux domaines,
tels que l'écologie, la finance ou les études de fiabilité. Nous étudions en particulier
l'évolution en temps long de la distribution de processus de Markov avec absorption.
La distribution limite d'un processus conditionné à ne pas être éteint au moment où
on l'observe permet de décrire et d'expliquer des comportements non-triviaux, comme
les plateaux de mortalité. Lorsqu'une telle distribution existe, elle est appelée
distribution quasi-stationnaire. Dans le premier chapitre, nous rappelons et démontrons
en toute généralités des propriétés propres à ces distributions. Dans les chapitres
suivants, nous démontrons dans une grande généralité une méthode particulaire d'approximation
des distributions de processus de Markov conditionnés à ne pas être absorbés et de
leur limite distribution quasi-stationnaire. Des programmes en C++ ont été écrits
afin d'implémenter numériquement l'approximation particulaire de distribution quasi-stationnaires
de processus provenant de modèles biologiques, tels que les diffusions de Wright-Fisher
et les diffusions de Lotka-Volterra. La méthode d'approximation démontrée dans cette
thèse associée à des méthodes de couplage nous permet également d'obtenir des nouveaux
résultats d'existence et d'unicité de distributions quasi-stationnaires, ainsi que
de démontrer des propriétés de mélanges nouvelles pour les diffusions conditionnées
à ne pas sortir d'un ouvert borné
Note publique d'information : My PhD thesis focuses on the study of the distributions of stochastic processes with
absorption and their approximation. This processes are commonly used in a large area
of applications in ecology, finance or reliability studies. In particular, we study
the long term evolution of the distribution of Markov processes with absorption. Non-trivial
behaviors, like mortality plateaus, can be described and explained by the limiting
distribution of a process conditioned not to be absorbed when it is observed. When
such a limiting distribution exists, it is called a quasi-stationary distribution.
In the first chapter, we recall and prove in all generality some specific properties
of these distributions. In the following chapters, we prove in a great generality
an approximation method based on particle systems in order to approximate the distribution
of conditioned Markov processes and their quasi-stationary distributions. Programs
written in C++ during my thesis allow us to present a numerical implementation of
this approximation method for biological models, like the Wright-Fisher diffusion
process or the Lotka-Volterra diffusion processes. The approximation method proved
in this thesis associated with coupling technics allows us to obtain new results of
existence and uniqueness of quasi-stationnary distributions. Moreover, we show some
mixing properties for diffusion processes conditioned to remain in a bounded open
subset