Note publique d'information : Dans cette these, nous avons defini une methode generale qui construit une paire de
bases biorthogonales par rapport a une forme sesquilineaire, non necessairement hermitienne
definie positive. La construction de bases biorthogonales nous a permi de determiner
de maniere recursive une projection particuliere bien definie, que nous avons appelee
projection biorthogonale, d'un vecteur arbitraire sur un sous-espace sesquilineaire
regulier. Pour la resolution des systemes d'equations lineaires, nous avons montre
que de nombreuses methodes connues comme gmres et minres sont basees sur la projection
biorthogonale de la solution, par rapport a une forme hermitienne definie positive,
sur un sous-espace de krylov. Nous avons etudie le probleme de la division par zero
du a la singularite de certains polynomes orthogonaux formels. Afin d'eviter ce probleme
et au lieu d'utiliser une strategie de look-ahead, nous avons propose d'employer une
nouvelle methode ala qui consiste a remplacer ceux qui n'existent pas par des polynomes
biorthogonaux. Nous avons donne trois mises en oeuvre principales de ala que nous
avons appliquees a la methode de lanczos, a l'approximation de pade et a l'epsilon
algorithme. A la fin de cette these, pour la resolution d'un systeme d'equations lineaires,
nous avons montre que l'utilisation d'un systeme augmente hermitien avec un preconditionnement
est recommande en cas de stagnation des methodes qui projettent la solution sur les
sous-espaces de krylov k#i(a, r#o) pour i = 1, 2, , n, comme c'est le cas pour gmres.
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