Note publique d'information : Dans cette thèse, on s'intéresse au billard dans un polyèdre. On étudie cette application,
en codant les orbites sur un alphabet fini. On étudie alors deux problèmes: la complexité
des mots infinis obtenus, et l'existence de trajectoires périodiques. On montre que
la complexité est reliée à la notion de diagonale généralisée : une diagonale généralisée
est une trajectoire de billard, qui part d'une arête et qui arrive à une arête. On
obtient alors, au premier chapitre, une nouvelle preuve du calcul de la complexité
d'une rotation du tore \mathbb(T)^2, totalement irrationnelle. Cette preuve permet
de plus, d'obtenir une estimation de la complexité directionnelle du billard dans
certains prismes droits. Au deuxième chapitre, on obtient, grâce aux diagonales généralisées,
une estimation de la complexité globale du billard cubique. On donne alors au chapitre
trois une estimation valable dans n'importe quel polyèdre convexe: On montre en fait
que le billard est d'entropie topologique nulle. Le chapitre quatre traite alors du
problème des orbites périodiques. On donne une condition suffisante, pour qu'un mot
soit stable. On montre de plus l'existence d'une trajectoire périodique dans le tétraèdre
régulier. Pour finir on s'intéresse, dans le chapitre cinq, à une sous classe d'échange
de rectangles. On montre que ces applications sont ergodiques, et de complexité quadratique.
Ces applications sont reliées au billard puisque, à direction fixée, l'application
de premier retour est une application affine par morceaux.
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