Note publique d'information : Le premier volet de cette thèse traîte des méthodes de factorisation du type QR, concernant
le cas symplectique. Ainsi, l'algorithme de Gram-Schmidt symplectique (SGS) et ses
versions modifiées sont étudiés en détail. En particulier, l'analyse d'erreurs de
l'algorithme, nous a permis d'obtenir des majorations pour l'erreur dans la factorisation
SR et pour la perte d'orthogonalité. Nous avons également introduit et étudié les
transformations de Householder symplectiques. Une méthode de type Householder pour
la factorisation SR a été introduite et construite en suivant des approches algébriques
et géométriques. Des résultats sur l'erreur ont été obtenus. Enfin un lien entre l'algorithme
de Gram-Schmidt symplectique modifié et la factorisation SR via les transformations
de Householder symplectiques a été établi. Le second volet est consacré à l'introduction
et à l'étude des méthodes de type Krylov, conservant les structures d'une matrice,
lorsque la taille de celle-ci est réduite, pour approcher certains vecteurs et valeurs
propres de la matrice structurée originelle. Deux méthodes du type Arnoldi ont été
proposées et étudiées. L'une utilise l'algorithme SGS, dans le procédé d'orthogonalisation,
tandis que l'autre utilise les transvections de Householder. Enfin, nous avons aussi
introduit et étudié des méthodes du type Lanczos symplectiques. Ces méthodes, contrairement
aux méthodes classiques, permettent à la matrice réduite d'hériter de la structure
Hamiltonienne, anti-Hamiltonienne ou symplectique de la matrice. La supériorité de
ces méthodes pour le cas structuré ci-dessus, est l'objet du dernier chapitre. Elle
est illustrée par des tests numériques.
Note publique d'information : The first part of this thesis deals with QR-like factorization for the symplectic
case. Thus, the symplectic Gram-Schmidt (SGS) algorithm and its modified versions
are studied in detail. In particular, the error analysis for the algorithm allowed
us to obtain bounds for the error in the SR factorizationand for the loss of orthogonality.
We also introduced and studied the symplectic Householder transformations. A Houselder
type method for the factorization SR is introduced and studied following an algebraic
and geometric approches. Results on the error are obtained. Finally, a link with the
modified SGS and the SR factorization via Householder transvections is established.
The second part is devoted to the introduction and the study of Krylov-like methods,
structure preserving, for the eigenvalue problem. Two Arnoldi's methods are highlighted.
One used the SGS in the orthogonalization process while the other performs the factorization
via symplectic transvections. Finally, symplectic Lanczos type methods are introduced
and studied. Unlike the classical methods, all these methods are structured-preserving
for Hamiltonian, skew-Hamiltonian and symplectic matrices. The last chapter is devoted
to numerical experiments.
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